we are science of glory and save the world
selamat pagi teman teman sciece of glory kembali lagi dengan saya
selamat membaca ya
selamat pagi teman teman sciece of glory kembali lagi dengan saya
selamat membaca ya
A. Variabel Keadaan Sistem
Termodinamika
memusatkan perhatiannya pada delapan besaran termodinamis atau
koordinat sistem yang terangkum dalam kalimat: “Good Physicists Have Study Under Very
Fine Teachers”. Good dengan huruf awal
G
, adalah lambang dari energi bebas Gibbs.
Physicists dengan huruf awal
p
, adalah lambang dari tekanan. Have dengan huruf awal
H
,
adalah lambang dari entalpi sistem. Study dengan huruf awal
S
, adalah lambang dari entropi
sistem. Under dengan huruf awal
U
, adalah lambang dari energi
-dalam sistem. Very dengan
huruf awal
V
, adalah lambang volume sistem. Fine dengan huruf awal
F
, adalah lambang dari
energi bebas Helmholtz. Terakhir kata Teachers dengan huruf awal
T
, adalah lambang dari
temperatur sistem. Delapan koordinat sistem ini mer
upakan besaran
-besaran makroskopis
yang melukiskan keadaan kesetimbangan sistem. Oleh karena itu, koordinat sistem sering
disebut sebagai variabel keadaan sistem.
Sebagai teladan
. Suatu sistem termodinamis terdiri atas N partikel gas. Dalam
Termodinamika
besaran makroskopis yang menggambarkan sistem ini adalah tekanan gas
(
p
), volume gas (
V
), dan temperatur gas (
T
). Ketiga besaran ini dapat diamati dan diukur
secara langsung. Misalnya, tekanan gas diukur dengan menggunakan barometer atau
manometer. Volume
gas diukur dengan menggunakan piknometer, dan temperatur gas dapat
diukur dengan termometer.
Eksperimen
menunjukkan, bahwa tekanan gas (
p
), volume gas (
V
), dan temperatur gas (
T
)
mempunyai kaitan tertentu. Artinya, gas dapat diberi harga volume tertentu,
misalnya 2 liter.
Kemudian gas dipanaskan sampai temperatur tertentu, misalnya 75
0
C, ternyata tekanan gas
sudah mempunyai harga yang pasti. Secara matematis, antara
p, V
, dan
T
mempunyai
hubungan fungsional: f (
p, V, T
) = 0. Dari hubungan empiris ini dapa
t dibuat ramalan
-
ramalan tertentu. Misalnya mengenai: koefisien muai gas, kapasitas kalor gas, energi
-dalam
gas, dan koordinat sistem lainnya.
Perlu diketahui, bahwa semua eksperimen menunjukkan:
1.
apabila suatu sistem ada dalam keadaan setimbang termodina
mis, maka setiap
koordinat dapat dinyatakan sebagai fungsi dua koordinat lainnya.
2.
hanya ada dua diantara kedelapan koordinat sistem yang merupakan variabel bebas
sistem.
3.
dalam keadaan setimbang termodinamis berlaku hubungan f (x, y, z) = 0.
Sebagai telad
an.
Gas dengan jumlah parrtikel sebesar N ada dalam bejana yang tidak bocor.
Selama komposisi gas tidak berubah, dalam arti tidak terjadi reaksi kimiawi yang dapat
mengubah jumlah partikel gas dan tidak terjadi peristiwa difusi; maka dalam eksperimen,
volume dan tekanan gas dapat diubah-
ubah sesuai dengan kebutuhan. Ini berarti, pada
volume tertentu (
V
), gas dapat diberi temperatur (
T
) berapa saja. Dapat pula, pada temperatur
(
T
) tertentu, gas dapat diberi harga volume (
V
) berapa saja. Hal ini mungkin, kare
na terdapat
koordinat ketiga yang menyesuaikan diri, yaitu: tekanan gas (
p
). Jadi, variabel keadaan gas
dapat dilukiskan dalam bentuk:
1.
implisit, f (
p, V, T
) = 0 ................................... (1.1)
2.
eksplisit,
a.
p
=
p
(
V, T
).
b.
V
=
V
(
p, T
), dan ................................. (1.2)
c.
T
=
T
(
p, V
).
Bentuk implisit f (
p, V, T
) = 0 menyatakan, bahwa antara variabel
p, V
, dan
T
ada hubungan
tertentu. Oleh karena itu, hanya dua variabel di antara ketiga variabel bersifat bebas,
sedangkan variabel yang ketiga merupakan variabel tak bebas atau terikat.
Bentuk eksplisit
p
=
p
(
V, T
) menyatakan, bahwa variabel
V
dan
T
merupakan variabel bebas
dan variabel
p
merupakan variabel terikat. Bentuk eksplisit
V
=
V
(
p, T
) menyatakan, bahwa
variabel
p
dan
T
merupakan variabel bebas dan variabe
l
V
merupakan variabel terikat.
Demikian pula bentuk eksplisit
T
=
T
(
p, V
) menyatakan, bahwa variabel
p
dan
V
merupakan variabel bebas dan variabel
T
merupakan variabel terikat. Hubungan ketiga
besaran ini ditunjukkan dalam persamaan diferensial.
B. Diferensial Total, Parsial, Eksak, dan Tak Eksak
Perhatikan fungsi x = x (y, z). Andaikan fungsi ini benar
-benar ada, artinya “
x is an
existing function of y and z”,
maka
nilai x dapat berubah karena y berubah tetapi z tidak,
atau z berubah tetapi y
tidak, atau y dan z keduanya berubah. Perubahan-
perubahan ini
secara matematis dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial total, diferensial parsial,
diferensial eksak, dan atau diferensial tak eksak.
Diferensial total
dari x adalah dx yang nilainya sam
a dengan perubahan x karena y berubah
ditambah dengan perubahan x karena z berubah. Secara matematis dapat dinyatakan:
dx = (∂x / ∂y)
z
dy + (∂x / ∂z)
y
dz ........... (1.3)
Diferensial total x adalah dx yang menggambarkan perubahan total x. Karena dx merupakan
perubahan infinit suatu
fungsi yang benar
-benar ada
, maka dx disebut
diferensial eksak
.
Jika dx me
rupakan diferensial total dari fungsi x = x (y, z) yang
benar
-benar tidak ada
,
maka dx disebut
diferensial tak eksak
.
Dalam hal ini
(∂x / ∂y)
z
dy
merupakan perubahan x karena y berubah, sedangkan z tidak
berubah dan
(∂x / ∂z)
y
dz
merupakan perubahan x karena z berubah, sedangkan y tidak
berubah. Sedangkan
(∂x / ∂y)
z
dinamai diferensial parsial x ke y dengan z tetap yang
biasa ditulis sebagai M (yz) dan
(∂x / ∂z)
y
dinamai diferensial parsial x ke z dengan y
tetap yang biasa ditulis sebaga
i N (yz). Dalam persamaan I.3 dy disebut sebagai perubahan
y dan dz disebut sebagai perubahan z.
C. Syarat Euler dan Dalil Rantai
Telah dijelaskan di atas, bahwa ada fungsi yang benar
-benar ada (existing) dan ada fungsi
yang benar
-benar tidak ada.
Jika fungsi x = x (y, z) merupakan fungsi yang benar
-benar ada
dan dapat didiferensialkan dengan baik (differensiable), maka urutan pendiferensialan
(diferensiasi) tidak menjadi masalah. Artinya,
(∂
2
x / ∂y ∂z)
z, y
= (∂
2
x / ∂z ∂y)
y, z
atau
(∂M / ∂z)
y
=
(∂N / ∂y)
z
.
........
(1.4)
Persamaan I.4 dikenal sebagai
syarat Euler
. Jadi, syarat Euler merupakan syarat yang
diper
lukan untuk membuktikan bahwa fungsi x = x (y, z) merupakan fungsi yang benar
-
benar ada. Dapat pula dinyatakan, diferensial total suatu fungsi yang benar
-benar ada (yang
memenuhi syarat Euler) adalah diferensial eksak.
Jika fungsi
x = x (y, z),
maka
dx
= (
∂x / ∂y)
z
dy + (∂x / ∂z)
y
dz.
Fungsi ini dapat
dilihat sebagai fungsi
y = y (x, z)
dengan
dy = (∂y / ∂x)
z
dx + (∂y / ∂z)
x
dz.
Jika dy
disubstitusikan ke dx di atas diperoleh:
dx = (∂x / ∂y)
z
{(∂y / ∂x)
z
dx + (∂y / ∂z)
x
dz} + (∂x / ∂z)
y
dz atau
dx
= {(∂x / ∂y)
z
(∂y / ∂x)
z
} dx + {(∂x / ∂y)
z
(∂y / ∂z)
x
+ (∂x / ∂z)
y
} dz
yang
berlaku untuk setiap
dx
dan
dz
. Hal ini terpenuhi jika
1.
{(∂x / ∂y)
z
(∂y / ∂x)
z
} = 1 atau (∂x / ∂y)
z
= {1 / (∂y / ∂x)
z
}
..... (1.5)
2.
{(∂x / ∂y)
z
(∂y / ∂z)
x
+ (∂ x / ∂z)
y
} = 0 atau
{(∂x / ∂y)
z
(∂y / ∂z)
x
(∂z / ∂x)
y
}
= -1 ..................
(1.6)
Persamaan I.6 dikenal sebagai dalil rantai atau aturan rantai atau “chine rule”.
Dalam Termodinamika konsep diferensial total, diferensial parsial, diferensial eksak, d
an
diferensial tak eksak sangat diperlukan. Pemaknaan dari keempat bentuk diferensial ini
sangat bergantung pada keaadaan sistem, koordinat sistem, atau variabel sistem
termodinamis. Oleh karena itu, Mahasiswa harus faham benar mengenai pengertian
-
pengerti
an dan pemaknaan diferensial dalam Termodinamika.
Sebagai teladan
, perhatikan keadaan gas yang ada dalam bejana yang dilengkapi dengan
pengisap (piston) seperti gambar I.1. berikut.
Gambar I.1 melukiskan keadaan gas yang ada dalam bejana dengan volume
V
, tekanan
p
,
temperatur
T
, dan jumlah partikel
N
. Jika bejana tidak bocor, maka jumlah partikel gas (
N
)
harganya selalu tetap. Besaran
p, V,
dan
T
saling berhubungan. Eksperimen menunjukkan,
jika dua besaran menjadi variabel bebas, maka satu besaran lainnya menjadi variabel terikat.
Hubungan ini dapat dinyatakan dalam bentuk implisit berikut.
GAS
Gambar 1.1 : Gas dalam Bejana yang Dilengkapi dengan Piston
f (
p, V, T
) = 0 ............... (1.7)
Bentuk eksplisitnya ada tiga, yaitu:
(a).
p
=
p
(
V, T
). (b).
V
=
V
(
p, T
). (c).
T
=
T
(
p, V
). .......... (1.8)
Bentuk diferens
ialnya ada tiga, yaitu persamaan 1.9. (a), (b), dan (c) berikut.
1.9. (a). d
p
= (∂
p
/ ∂
V
)
T
d
V
+ (∂
p
/ ∂
T
)
V
d
T
1.9. (b). d
V
= (∂
V
/ ∂
p
)
T
d
p
+ (∂
V
/ ∂
T
)
p
d
T
1.9. (c). d
T
= (∂
T
/ ∂
p
)
V
d
p
+ (∂
T
/ ∂
V
)
p
d
V
Makna fisis dari persamaan 1.9. (a) dapa
t dijelaskan sebagai berikut.
(1).
d
p
= perubahan total dari tekanan gas dalam bejana = perubahan parsial tekanan gas
karena adanya perubahan volume gas pada proses isotermis + perubahan parsial
tekanan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses isokhoris.
(2).
d
V
= perubahan volume gas dan
d
T
= perubahan temperatur gas.
(3).
(
∂
p
/ ∂
V
)
T
=
perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan volume gas pada
proses isotermis.
(4).
(∂
p
/ ∂
T
)
V
=
perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan temperatur pada
proses isokhoris.
Makna fisis dari persamaan 1.9. (b) dan (c) dapat dijelaskan dengan cara yang sama. Indeks
pada diferensial parsial menunjukkan prosesnya. Misalkan ada indeks p, maka perubahan
parsial terjadi pada proses isobaris (proses tekanan tetap).
D. Integrasi Diferensial
Integrasi diferensial dapat digambarkan seperti bagan 1.2 berikut.
D.1. Integrasi Diferensial Eksak Tertentu
Jika
z = z (x, y)
merupakan fungsi yang benar
-benar ada, maka
dz
merupakan diferensial
eksak. Harga dari
dz = (∂z / ∂x)
y
dx + (∂z / ∂y)
x
dy
. Hasil integrasi diferensial eksak
tertentu
dz
ditunjukkan oleh persamaan 1.10 berikut.
∫ dz = ∫ dz (x, y) = z (x
f
, y
f
) – z (x
i
, y
i
) = z
f
– z
i
= ∆ z
if
.
... (1.10)
Indeks i berarti initial (awal) dan indeks f berar
ti final (akhir). Jadi, hasil akhir dari integrasi
diferensial eksak tertentu berwujud bilangan atau nilai tertentu (
∆ z
if
)
. Dapat dibuktikan,
bahwa integrasi diferensial eksak tertentu tidak bergantung pada jalan integrasi dan hanya
bergantung pada kondis
i awal (i) dan kondisi akhir (f).
D.2. Integrasi Diferensial Eksak Tak Tentu
Jika
z = z (x, y)
merupakan fungsi yang benar
-benar ada, maka
dz
merupakan diferensial
eksak. Harga dari
dz = (∂z / ∂x)
y
dx + (∂z / ∂y)
x
dy
. Hasil integrasi diferensial eks
ak
tak tentu
dz
ditunjukkan oleh persamaan 1.11 berikut.
Integrasi
Diferensial
Eksak
Tak
Eksak
Tertentu (diantara dua
batas tertentu)
Tak tentu (tidak ber
batas)
Terte
ntu (diantara dua
batas tertentu)
Tak tentu (tidak ber
batas)
Gambar 1.2 : Konsep Integrasi Diferensial Termodinamis
f
i
i
f
∫ dz = ∫ dz (x, y) = z (x, y) + C.
........... (1.11)
Hasil integrasi diferensial eksak tak tentu adalah fungsi aslinya ditambah dengan tetapan
integrasi C.
D. 3. Integrasi Diferensial Tak Eksak Te
rtentu
Jika A
= A (x, y)
merupakan fungsi yang benar
-benar tidak ada, maka
dA
merupakan
diferensial tak eksak. Harga dari
dA = (∂A / ∂x)
y
dx + (∂A / ∂y)
x
dy
. Hasil integrasi
diferensial tak eksak tertentu
dz
ditunjukkan oleh persamaan I.12 berikut.
∫ dA = ∫ dA (x, y) = A (x
f
, y
f
) – A (x
i
, y
i
) = A
f
– A
i
= ∆ A
if
.
... (1.12)
Indeks i berarti initial (awal) dan indeks f berarti final (akhir). Jadi, hasil akhir dari integrasi
diferensial tak eksak tertentu berwujud bilangan atau nilai tertentu (
∆ A
if
)
. Dapat
dibuktikan, bahwa integrasi diferensial tak eksak tertentu bergantung pada “jalan”
integrasinya.
D.4. Integrasi Diferensial Tak Eksak Tak Tentu
Jika A
= A (x, y)
merupakan fungsi yang benar
-benar tidak ada, maka
dA
merupakan
diferensial tak ek
sak. Harga dari
dA = (∂A / ∂x)
y
dx + (∂A / ∂y)
x
dy
. Hasil integrasi
diferensial tak eksak tak tentu
dz
ditunjukkan oleh persamaan 1.13 berikut.
∫ dA = ∫ dA (x, y) = A (x, y) + C.
........... (1.13)
Hasil integrasi diferensial tak eksak tak tentu adalah fungsi aslinya ditambah dengan tetapan
integrasi C. Namun, karena fungsi asli A = A (x, y) benar
-benar tidak ada, maka
hasil
integrasi ini tidak mungkin
