Fungsi (matematika)

hai kaw3an kawan science of glory swelamat membaca dan jangan lupa s

Fungsi dalam istilah  merupakan pemetaan setiap anggota sebuah  (dinamakan sebagai ) kepada anggota  yang lain (dinamakan sebagai ). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.”  fungsi adalah salah satu konsep dasar dari  dan setiap kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara .
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti . Contohnya adalah sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah ${\displaystyle y=f(2x)}$, yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis ${\displaystyle f(5)=10}$.

Notasi

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

${\displaystyle f:A\rightarrow B}$

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

${\displaystyle x\in A}$

${\displaystyle f:x\rightarrow x^{2}}$

atau

${\displaystyle f(x)=\,x^{2}}$

Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Sifat-sifat fungsi

Fungsi injektif

 f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sembarang a₁ dan a₂ ${\displaystyle \in A}$ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada, fungsi onto atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi korespondensi satu-satu, fungsi into, fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Fungsi komposisi

Contoh

• Tentukan ${\displaystyle f(x)\circ g(x)}$ dan ${\displaystyle g(x)\circ f(x)}$ dari ${\displaystyle f(x)=2x+3}$ dan ${\displaystyle g(x)=4x+7}$!

${\displaystyle f(x)\circ g(x)=f(g(x))}$

${\displaystyle f(g(x))=f(4x+7)}$

${\displaystyle f(g(x))=2(4x+7)+3}$

${\displaystyle f(g(x))=8x+17}$

${\displaystyle g(x)\circ f(x)=g(f(x))}$

${\displaystyle g(f(x))=g(2x+3)}$

${\displaystyle g(f(x))=4(2x+3)+7}$

${\displaystyle g(f(x))=8x+19}$

• Tentukan ${\displaystyle f(x)}$ dari ${\displaystyle g(x)=4x+7}$

a ${\displaystyle f(g(x))=8x+17}$!

b ${\displaystyle g(f(x))=8x+19}$!

a

${\displaystyle f(g(x))=8x+17}$

${\displaystyle f(4x+7)=8x+17}$

${\displaystyle f({\frac {4x+7-7}{4}})=8({\frac {x-7}{4}})+17}$

${\displaystyle f(x)=2x-14+17}$

${\displaystyle f(x)=2x+3}$

b

${\displaystyle g(f(x))=8x+19}$

${\displaystyle 4f(x)+7=8x+19}$

${\displaystyle {\frac {4f(x)+7-7}{4}}={\frac {8x+19-7}{4}}}$

${\displaystyle f(x)=2x+3}$

• Tentukan ${\displaystyle f(x)\circ g(x)}$ dan ${\displaystyle g(x)\circ f(x)}$ dari ${\displaystyle f(x)=5x+3}$ dan ${\displaystyle g(x)=x^{2}+4x+7}$!

${\displaystyle f(x)\circ g(x)=f(g(x))}$

${\displaystyle f(g(x))=f(x^{2}+4x+7)}$

${\displaystyle f(g(x))=5(x^{2}+4x+7)+3}$

${\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}$

${\displaystyle g(x)\circ f(x)=(f(x))}$

${\displaystyle g(f(x))=g(5x+3)}$

${\displaystyle g(f(x))=(5x+3)^{2}+4(5x+3)+7}$

${\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+30x+9+20x+12+7}$

${\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}$

• Tentukan ${\displaystyle g(x)}$ dari ${\displaystyle f(x)=5x+3}$

a ${\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}$!

b ${\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}$!

a

${\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}$

${\displaystyle 5g(x)+3=5x^{2}+20x+38}$

${\displaystyle {\frac {5g(x)+3-3}{5}}={\frac {5x^{2}+20x+38-3}{5}}}$

${\displaystyle g(x)=x^{2}+4x+7}$

b

${\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}$

${\displaystyle g(5x+3)=25x^{2}+50x+28}$

${\displaystyle g({\frac {5x+3-3}{5}})=25({\frac {x-3}{5}})^{2}+50({\frac {x-3}{5}})+28}$

${\displaystyle g(x)=25({\frac {x^{2}-6x+9}{25}})+10x-30+28}$

${\displaystyle g(x)=x^{2}+4x+7}$

• Tentukan ${\displaystyle f(x)}$ dari ${\displaystyle g(x)=x^{2}+4x+7}$

a ${\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}$!

b ${\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}$!

a

${\displaystyle f(g(x))=5x^{2}+20x+38}$

${\displaystyle f(x^{2}+4x+7)=5x^{2}+20x+38}$

${\displaystyle f(x^{2}+4x+7)=5x^{2}+20x+35-35+38}$

${\displaystyle f(x^{2}+4x+7)=5(x^{2}+4x+7)+3}$

${\displaystyle f(x)=5x+3}$

b

${\displaystyle g(f(x))=25x^{2}+50x+28}$

${\displaystyle (f(x))^{2}+4f(x)+7=25x^{2}+50x+28}$

${\displaystyle (f(x))^{2}+4f(x)+4-4+7=25x^{2}+50x+25-25+28}$

${\displaystyle (f(x)+2)^{2}+3=(5x+5)^{2}+3}$

${\displaystyle f(x)+2=5x+5}$

${\displaystyle f(x)=5x+3}$