cara mudah mengerjakan integral parsial

we are science of glory and save the world

Soal-soal integral terkadang ditanyakan dalam bentuk yang tidak sederhana, salah satunya adalah bentuk yang terdiri dari perkalian beberapa fungsi. Untuk menyelesaikan soal tersebut, bisa menggunakan cara integral parsial.
Rumus integral parsial adalah

$\int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u$

dimana kita perlu memilih salah satu fungsi pada soal sebagai u dan fungsi sisanya sebagai dv.
Saat mengerjakan soal integral parsial, kita perlu memilih fungsi u yang tepat dengan syarat saat u diturunkan, hasil turunannya akan lebih sederhana daripada u sendiri. Sebagai pedoman umum, gunakan urutan dibawah ini sebagai prioritas permisalan :

$u = \ln x$
$u = x^n$
$u = e^{n x}$

$\int x \sin 2x \: \mathrm{d}x = \dots$
Tutup Jawaban
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u. Secara umum, pedomannya adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana. Untuk kasus ini, pilihlah $u = x$

$\begin{align*} u &= x \\ \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x \end{align*}$
Karena memilih $u = x$ berarti $\mathrm{d}v = \sin 2x \: \mathrm{d}x$

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \sin 2x \: \mathrm{d}x \\ \int \: \mathrm{d}v &= \int \sin 2x \: \mathrm{d}x \\ v &= - \frac{1}{2} \cos 2x \end{align*}$
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int x \sin 2x \: \mathrm{d}x &= x \cdot - \frac{1}{2} \cos 2x - \int - \frac{1}{2} \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ &= - \frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ &= - \frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C \\ &= - \frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C \\ \end{align*}$
$\int x \sqrt{x+1} \: \mathrm{d}x = \dots$
Tutup Jawaban
Ada dua kemungkinan untuk memisalkan u, yaitu $u = x$ atau $u = \sqrt{x+1}$ . Tetapi kita memilih $u = x$ karena turunannya lebih sederhana dibanding $u = \sqrt{x+1}$ .
Jadi misalkan :

$\begin{align*} u &= x \\ \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x \end{align*}$
Lalu

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \sqrt{x+1} \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int \sqrt{x+1} \: \mathrm{d}x \\ v &= \int (x+1)^{\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} \end{align*}$
Lakukan substitusi u dan v

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int x \sqrt{x+1} \: \mathrm{d}x &= x \left[\frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} \right] - \int \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{2}{3}x (x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \int (x+1)^{\frac{3}{2}} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{2}{3}x (x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} (x+1)^{\frac{5}{2}} + C \\ &= \frac{2}{3}x (x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} (x+1)^{\frac{5}{2}} + C \end{align*}$
$\int x^2 \ln 4x \: \mathrm{d}x = \dots$
Tutup Jawaban
Kita dapat memilih $u = x^2$ atau $u = \ln 4x$ , tetapi mengingat pedoman permisalan fungsi u yang dijelaskan di atas, maka kita memilih $u = \ln 4x$ sehingga $\mathrm{d}v = x^2 \: \mathrm{d}x$
Jadi lakukan permisalan :

$\begin{align*} u &= \ln 4x \\ \mathrm{d}u &= \frac{1}{x} \: \mathrm{d}x \end{align*}$
Lalu :

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= x^2 \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int x^2 \: \mathrm{d}x \\ v &= \frac{1}{3} x^3 \end{align*}$
Lakukan substitusi

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int \ln 4x \: x^2 \: \mathrm{d}x &= \ln 4x \cdot \frac{1}{3} x^3 - \int \frac{1}{3}x^3 \: \frac{1}{x} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{3} x^3 \ln 4x - \frac{1}{3} \int x^2 \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{3} x^3 \ln 4x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}x^3 + C \\ &= \frac{1}{3} x^3 \ln 4x - \frac{1}{9}x^3 + C \\ \end{align*}$
$\int x^2 e^{3x} \: \mathrm{d}x = \dots$
Tutup Jawaban
Melihat soal diatas, ada 2 fungsi yang bisa dijadikan u. Lalu dengan mempertimbangkan prioritas permisalan, kita memilih $u = x^2$ dan $\mathrm{d}v = e^{3x} \: \mathrm{d}x$

$\begin{align*} u &= x^2 \\ \mathrm{d}u &= 2x \: \mathrm{d}x \end{align*}$
Lalu

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= e^{3x} \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int e^{3x} \: \mathrm{d}x \\ v &= \frac{1}{3} e^{3x} \end{align*}$
Lakukan substitusi integral parsial

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int x^2 \: e^{3x} \: \mathrm{d}x &= x^2 \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} \cdot 2x \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{1}{3} \int 2x \cdot e^{3x} \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$
Bentuk $\int 2x \cdot e^{3x} \: \mathrm{d}x$ menyebabkan kita harus sekali lagi melakukan metode integral parsial. Jadi lakukan permisalan :

$\begin{align*} u &= 2x \\ \mathrm{d}u &= 2 \: \mathrm{d}x \end{align*}$
Dan sama seperti sebelumnya

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= e^{3x} \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int e^{3x} \: \mathrm{d}x \\ v &= \frac{1}{3} e^{3x} \end{align*}$
Lakukan substitusi sekali lagi melanjutkan yang tadi

$\begin{align*} \int x^2 \: e^{3x} \: \mathrm{d}x &= \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{1}{3} \int 2x \cdot e^{3x} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{1}{3} \left[2x \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} \cdot 2 \: \mathrm{d}x \right]\\ &= \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{1}{3} \left[\frac{2}{3}x e^{3x} - \frac{2}{3} \int e^{3x} \: \mathrm{d}x \right] \\ &= \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{1}{3} \left[\frac{2}{3}x e^{3x} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{3x} + C \right] \\ &= \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{2}{9}x e^{3x} + \frac{2}{27} e^{3x} + C \end{align*}$
$\int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = \dots$
Tutup Jawaban
Berdasarkan pedoman permisalan, lakukan permisalan $u = e^x$ dan $\mathrm{d}v = \sin 2x \: \mathrm{d}x$

$\begin{align*} u &= e^x \\ \mathrm{d}u &= e^x \: \mathrm{d}x \end{align*}$
Lalu :

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \sin 2x \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int \sin 2x \: \mathrm{d}x \\ v &= -\frac{1}{2} \cos 2x \end{align*}$
Lakukan substitusi menggunakan integral parsial

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x &= e^x (-\frac{1}{2} \cos 2x) - \int -\frac{1}{2} \cos 2x \: e^x \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \: e^x \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$
Lakukan proses integral parsial sekali lagi pada persamaan $\int e^x \cos 2x \: \mathrm{d}x$ , kali ini dengan memilih $u = e^x$ lagi, dengan $\mathrm{d}v = \cos 2x \: \mathrm{d}x$ . Karena persamaan u sama, langsung saja ke persamaan dv.

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ v &= \frac{1}{2} \sin 2x \end{align*}$
Substitusi untuk $\int e^x \cos 2x \: \mathrm{d}x$

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int e^x \cos 2x \: \mathrm{d}x &= e^x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \: e^x \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} e^x \sin 2x - \frac{1}{2} \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x + C\\ \end{align*}$
Tulis lagi persamaan semula, dan lakukan substitusi

$\begin{align*} & \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{2} {\color{blue} \int e^x \cos 2x \: \mathrm{d}x} + C \\ & \int e^x \sin 2x \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{2} \left[{\color{blue} \frac{1}{2} e^x \sin 2x - \frac{1}{2} \int e^x \sin 2x \mathrm{d}x}\right] + C \\ & \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{4} e^x \sin 2x -\frac{1}{4} \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x + C \\ & \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x + \frac{1}{4} \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{4} e^x \sin 2x + C \\ &\frac{5}{4} \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{4} e^x \sin 2x + C \\ &\int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = \frac{4}{5} \left[ -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{4} e^x \sin 2x \right] + C \\ &\int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = -\frac{2}{5} e^x \cos 2x + \frac{1}{5} e^x \sin 2x + C \end{align*}$
$\int \arcsin x \: \mathrm{d}x = \dots$
Tutup Jawaban
Lakukan permisalan $u = \arcsin x$ dan $\mathrm{d}v = \mathrm{d}x$

$\begin{align*} u &= \arcsin x \\ \mathrm{d}u &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \: \mathrm{d}x \end{align*}$
$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int \mathrm{d}x \\ v &= x \end{align*}$
Substitusikan ke rumus integral parsial

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int \arcsin x \: \mathrm{d}x &= \arcsin x \cdot x - \int x \: \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \: \mathrm{d}x \\ &= x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$
Untuk menyelesaikan bentuk diatas, kita perlu melakukan substitusi biasa. Kita misalkan $t = 1-x^2$ .

$\begin{align*} t &= 1-x^2 \\ \mathrm{d}t &= -2x \: \mathrm{d}x \\ x \: \mathrm{d}x &= - \frac{\mathrm{d}t}{2} \end{align*}$
Lanjutkan substitusi.

$\begin{align*} \int \arcsin x \: \mathrm{d}x &= x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \: \mathrm{d}x \\ &= x \arcsin x - \int - \frac{\mathrm{d}t}{2 \sqrt{t}} \\ &= x \arcsin x + \frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}t \\ &= x \arcsin x + \frac{1}{2} \cdot 2 t^\frac{1}{2} + C \\ &= x \arcsin x + \sqrt{t} + C \\ &= x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C \end{align*}$
$\int x \sin x \cos x \: \mathrm{d}x = \dots$
Tutup Jawaban
Sesuai dengan prioritas permisalan, maka kita pilih persamaan $u = x$ dan $\mathrm{d}v = \sin x \cos x \: \mathrm{d}x$ .

$\begin{align*} u &= x \\ \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x \end{align*}$
Dan

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \sin x \cos x \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int \sin x \cos x \: \mathrm{d}x \\ v &= \int \sin x \cos x \: \mathrm{d}x \\ v &= \int \frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cos x \: \mathrm{d}x \\ v &= \int \frac{1}{2} \sin 2x \: \mathrm{d}x \\ v &= \frac{1}{2} \int \sin 2x \: \mathrm{d}x \\ v &= \frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{2} \cos 2x \\ v &= -\frac{1}{4} \cos 2x \end{align*}$
Masukkan ke dalam rumus integral parsial

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int x \: \sin x \cos x \: \mathrm{d}x &= x \cdot -\frac{1}{4} \cos 2x - \int -\frac{1}{4} \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{1}{4}x \cos 2x + \frac{1}{4} \int \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{1}{4}x \cos 2x + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C \\ &= -\frac{1}{4}x \cos 2x + \frac{1}{8} \sin 2x + C \end{align*}$
$\int x^3 \sin x \: \mathrm{d}x = \dots$
Tutup Jawaban
Misalkan $u = x^3$ sehingga $\mathrm{d}u = 3x^2 \: \mathrm{d}x$
Lalu $\mathrm{d}v = \sin x \: \mathrm{d}x$ sehingga $v = -\cos x$ . Setelah itu masukkan ke rumus integral parsial.

$\begin{align*} \int x^3 \sin x \: \mathrm{d}x &= x^3 \cdot -\cos x - \int -\cos x \: 3x^2 \: \mathrm{d}x \\ &= -x^3 \cos x + 3 \int x^2 \cos x \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$
Misalkan lagi untuk melakukan integral parsial pada $\int 3x^2 \cos x \: \mathrm{d}x$ . Kali ini pilihlah $u = x^2$ sehingga $\mathrm{d}u = 2x \: \mathrm{d}x$ .
Lalu $\mathrm{d}v = \cos x \: \mathrm{d}x$ sehingga $v = \sin x$ dan masukkan kembali ke rumus integral parsial

$\begin{align*} \int x^3 \sin x \: \mathrm{d}x &= -x^3 \cos x + 3 \int x^2 \cos x \: \mathrm{d}x \\ &= -x^3 \cos x + 3 \left[ x^2 \cdot \sin x - \int \sin x \: 2x \: \mathrm{d}x \right] \\ &= -x^3 \cos x + 3 x^2 \sin x - 3 \int 2x \sin x \: \mathrm{d}x \\ &= -x^3 \cos x + 3 x^2 \sin x - 6 \int x \sin x \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$
Karena masih ada bentuk integral parsial di penyelesaian, maka misalkan sekali lagi. Kali ini $u = x$ sehingga $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$ .
Lalu $\mathrm{d}v = \sin x \: \mathrm{d}x$ sehingga $v = -\cos x$ . /p>
Masukkan ke rumus integral parsial lagi

$\begin{align*} \int x^3 \sin x \: \mathrm{d}x &= -x^3 \cos x + 3 x^2 \sin x - 6 \int x \sin x \: \mathrm{d}x \\ &= -x^3 \cos x + 3 x^2 \sin x - 6 \left[x \cdot -\cos x - \int -\cos x \: \mathrm{d}x \right] \\ &= -x^3 \cos x + 3 x^2 \sin x + 6x \cos x - 6 \int cos x \: \mathrm{d}x \\ &= -x^3 \cos x + 3 x^2 \sin x + 6x \cos x - 6 \sin x + C \\ \end{align*}$
$\int \frac{\ln |x+2|}{(x+2)^2} \: \mathrm{d}x = \dots$
Tutup Jawaban
Misalkan $u = \ln |x+2|$ dan $\mathrm{d}v = \frac{\mathrm{d}x}{(x+2)^2}$ . Cari nilai du terlebih dahulu.

$\begin{align*} u &= \ln |x+2| \\ \mathrm{d}u &= \frac{1}{x+2} \: \mathrm{d}x \end{align*}$
Lalu cari nilai v

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \frac{\mathrm{d}x}{(x+2)^2} \\ \int \mathrm{d}v &= \int \frac{\mathrm{d}x}{(x+2)^2} \\ v &= \int (x+2)^{-2} \: \mathrm{d}x \\ &= -(x+2)^{-1} \\ &= -\frac{1}{x+2} \end{align*}$
Masukkan ke rumus integral parsial

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int \frac{\ln |x+2|}{(x+2)^2} \: \mathrm{d}x &= \ln |x+2| \cdot -\frac{1}{x+2} - \int -\frac{1}{x+2} \cdot \frac{1}{x+2} \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{\ln |x+2|}{x+2} + \int \frac{1}{(x+2)^2} \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{\ln |x+2|}{x+2} + \int (x+2)^{-2} \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{\ln |x+2|}{x+2} - (x+2)^{-1} + C \\ &= -\frac{\ln |x+2|}{x+2} - \frac{1}{x+2} + C \\ \end{align*}$
$\int x \: ^3\!\log{x} \: \mathrm{d}x = \dots$
Tutup Jawaban
$\begin{align*} \int x \: ^3\!\log{x} \: \mathrm{d}x &= \int x \: \frac{\ln x}{\ln 3} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\ln 3} \int x \: \ln x \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$
Misalkan $u = \ln x$ sehingga $\mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{d}x$ dan $\mathrm{d}v = x \: \mathrm{d}x$ sehingga $v = \frac{1}{2} x^2$ .
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

$\begin{align*} \int x \: ^3\!\log{x} \: \mathrm{d}x &= \frac{1}{\ln 3} \int x \: \ln x \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\ln 3} \left[\ln x \cdot \frac{1}{2} x^2 - \int \frac{1}{2} x^2 \: \frac{1}{x} \mathrm{d}x \right] \\ &= \frac{1}{\ln 3} \left[\frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{1}{2} \int x \: \mathrm{d}x \right] \\ &= \frac{1}{\ln 3} \left[\frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^2 + C \right] \\ &= \frac{1}{\ln 3} \left[\frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{1}{4} x^2 + C \right] \\ &= \frac{1}{2 \ln 3} x^2 \ln x - \frac{1}{4 \ln 3} x^2 + C \end{align*}$