we are science of glory and save the world
1.1 Pusat massa
Partikel=benda titik, hanya dapat bergerak translasi, tidak rotasi
m 1 , m 2 , m 3 , ......, m N : massa-massa partikel
r r r
r
r 1 , r 2 , r 3 ,........, r N : vektor posisi masing-masing partikel
z
Total massa: M = ∑ m α ; α = 1 , 2 , 3 ..... N
α
m 1
r
r 1
Vektor posisi pusat massa:
r
R =
r
m
∑ α r α
α
x
r
r
r 3
r 2
m 3
m 2
y
M
3Contoh:
m 1 =10 gram, m 2 =15 gram dan m 3 =25 gram
r 1 =(2, -3, 3) cm; r 2 =(-3, -5, 4) cm; r 3 =(5, 4,-5) cm.
r
r
ˆ
r = î x + j y + k z ≡ (x, y, z)
Massa total:
M=(10+15+25)gram=50 gram
Posisi pusat massa:
r
R =
r
∑ m α r α
1
( 10 r r 1 + 15 r r 2 + 25 r r 3 )
M
50
= 0 , 2 ( 2 , − 3 , 3 ) cm + 0,3(-3,-5, 4)cm + 0,5(5,4,-5 )cm
α
=
= ( 2 , − 0 . 1 , − 0 . 7 ) cm
41.2 Persamaan Gerak Pusat Massa
r
r e r i
Gaya pada satu partikel ke-α: F α = F α + F α
F α e - gaya luar atau eksternal
F α i - gaya interaksi antara partikel itu
r i
F 2
r i
F 1 → 2
2
r i
F 1 → 3
dengan partikel-partikel-partikel lain;
disebut gaya internal.
r i
F 3 → 2
3
r i
F 3
r i
r i
F α = ∑ F β → α
1
r i
F 2 → 3
r i
F 3 → 1 r
F 1 i
r i
F 2 → 1
β ≠ α
Jika posisi sistem partikel digeser tanpa
mengganggu keadaan internalnya, maka total
gaya internal pada setiap partikel=0.
∑ α
r i
F α = 0
Hukum Newton-2 (persamaan gerak) dari partikel ke-α:
m α
r
r e r i
d 2 r α
= F α + F α
2
dt
α = 1 , 2 , 3 ..... N
5Persamaan gerak pusat masa
=0
r e
r i
∑ F α + ∑ F α
d 2 r α
∑ α m α dt 2 =
α
α = 1 , 2 , 3 ..... N
α
r e r
= ∑ F α = F
α
r
R =
r
m
∑ α r α
α
M
r e
F 2
r
d R r
→ M
= F
dt 2
2
r e
F 3
2
pm
r e
F 1
1
r
F
3
r
F
r e
F 3
r e
F 2
r e
F 1
61.3 Momentum linier
r
p α = m α
r
d r α
dt
r
2 r
d p α
d r α
= m α
dt
dt 2
v
r e
r i
d p α
= F α + F α
atau
dt
Total momentum linier:
r
d P
=
dt
∑ α
v
d p α
=
dt
∑ α
r e r
F α = F
Persamaan gerak pusat massa
r
r
r
r
d r
d R
P = ∑ p α = ∑ m α α = M
dt
dt
α
α
r
r
2
d P
d R r
= M 2 = F
dt
dt
Teorema:
Jika total gaya internal=0, pusat massa sistem partikel bergerak
seperti suatu partikel yang massanya = massa sistem dengan
suatu gaya=total gaya luar pada sistem.
7z
1.4 Momentum sudut
m 1
r
r r
r
L α Q = ( r α − r Q ) × p α
Momentum sudut sistem partikel
terhadap titik Q:
r
r
r r
r
L Q = ∑ L α Q = ∑ ( r α − r Q ) × p α
α
r
r 1
x
m 3
r m 2
r 2
r r
r 3 r Q
y
Q
α
Variasi terhadap waktu:
r
d L α Q
r
r
r
r r
d p α ⎛ d r α d r Q ⎞ r
⎟ ⎟ × p α
= ( r α − r Q ) ×
+ ⎜ ⎜
−
dt
dt ⎝ dt
dt ⎠
r
r
r
d r α
d r α r
Karena p α = m α
× p α = 0
dt
dt
8r
d L α Q
r
r
r r
d p α d r Q r
= ( r α − r Q ) ×
−
× p α
dt
dt
dt
r
r e r r
r i
r r
r r
d p α
( r α − r Q ) ×
= ( r α − r Q ) × F α + ( r α − r Q ) × F α
dt
r
r
r
r
d L α Q
d r Q r
r r
r r
e
i
= ( r α − r Q ) × F α + ( r α − r Q ) × F α −
× p α
dt
dt
r
r
r e
r i
d L Q
d r Q r
r r
r r
= ∑ ( r α − r Q ) × F α + ∑ ( r α − r Q ) × F α − ∑
× p α
dt
α
α
α dt
r
r
r
d r Q r
r r
i
= N Q + ∑ ( r α − r Q ) × F α −
× P
dt
α
r
r e
r r
N Q = ∑ ( r α − r Q ) × F α
Total momen gaya
α
9r
d r Q
dt
Jika:
r
× P = 0 (1) kecepatan titik Q sama dengan kecepatan pusat massa,
(2) titik Q adalah pusat massa, dan
(3) titik Q diam
r i
r i
F α = ∑ F β → α
β ≠ α
r i
r r
∑ ( r α − r Q ) × F α =
α
r i
r r
∑ ( r α − r Q ) × F β → α
∑ α β
≠ α
r i
r i
r r
r
r
= ∑ ∑ ( r α − r Q ) × F β → α + ( r β − r Q ) × F α → β
α − 1
α
β = 1
r i
r i
r r
r
r
= ∑ ∑ ( r α − r Q ) × F β → α − ( r β − r Q ) × F β → α
α − 1
α
β = 1
r i
r r
= ∑ ∑ ( r α − r β ) × F β → α = 0
α − 1
r
r β
r r
r α − r β
m β
r
r α
m α
α
β = 1
r i
F β → α
10Jadi, jika titik Q diam atau Q merupakan pusat massa, maka
r
d L Q
dt
r
= N Q
Terlihat, jika N Q =0, maka L Q adalah besaran yang konstan.
Teorem:
Jika tidak ada gaya luar pada sistem partikel, maka momentum
sudut sistem partikel itu konstan.
